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拉格朗日中值定理和柯西中值定理, 应该怎么选择?

正文:

当你学到微分中值定理的拉格朗日中值定理和柯西中值定理的时候,可能有一个问题会困扰你。那就是,在解题过程中,到底要如何判断,应该选用拉格朗日中值定理还是柯西中值定理。

而这里面最麻烦的一件事情,当属如何构造合适的辅助函数了。比如下面这道解答题,如果是初学者,就一定会面临这样的问题。

设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且ab>0. 证明:

存在ξ∈(a,b),使得1/(a-b)*行列式 |a, b;f(a), f(b)|=f(ξ)-ξf’(ξ).

分析:第一步当然应该先把行列式转化为整式的形式。这个行列式等于af(b)-bf(a)。左边的整个式子是(af(b)-bf(a))/(a-b). 瞧,是不是很像拉格朗日中值定理的公式形式呢?仔细观察,你会发现它与拉格朗日中值定理公式的不同。

而且式子的右边f(ξ)-ξf’(ξ),如果不细看,很容易联想到函数xf(x). 但xf(x)的导函数其实是f(x)+xf'(x). 和这个式子是有明显的不同的。

因此,这道题肯定不能应用拉格朗日中值定理,必须运用柯西中值定理。柯西中值定理绝大多数情况下都必须构造两个辅助函数,这就又给这道题增加了难度了。

再回到式子右边的f(ξ)-ξf’(ξ),你应该能想到,函数f(x)/x,或x/f(x). 稍做尝试之后,就会发现,应该构造辅助函数F(x)=f(x)/x,这样它的导函数就是F'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2. 另一个辅助函数构造为G(x)=1/x. 这个构造是非常巧妙的,因为G(x)的导函数G'(x)=-1/x^2中,分母的x^2正好和F'(x)中的分母约分,可以约掉。而G'(x)的符号性质是负的,正好与F'(x)中的分子约分,使其取相反数。

明确F,G在[a,b]上满足柯西中值定理的条件后,就可以直接运用柯西中值定理的公式了,即在(a,b)上一定存在一个点ξ,使得两个函数的两个端点函数差的比,等于ξ的两个导函数值的比。通过化简就可以得到要证明的式子了。

下面以图片的形式展示解题过程:

事实上,拉格朗日中值定理,是柯西中值定理中第二个函数G(x)=x的特例。但拉格朗日中值定理,很多人就比较容易上手,而柯西中值定理就会有些难度,关键还是熟能生巧,多学学几道这样的题,自然就会熟练了。

posted @ 22-08-16 12:02  作者:admin  阅读量:

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